Le jeu de la roulette, ce tombereau de chance et d'adrénaline, a fait son apparition à Paris vers 1760, introduit par l'illustre Sartines, lieutenant de Police, dans le but avisé de moraliser les jeux de hasard qui enivraient la population. Au cœur de ce jeu fascinant, la roulette véritable, où se décide le sort avec le numéro gagnant, est un mécanisme intrigant composé de deux parties essentielles : une structure fixe, appelée la carcasse, et une partie mobile, le cylindre, qui s'inscrit harmonieusement dans la carcasse. La carcasse elle-même possède un axe central vertical, et sa partie supérieure est ornée d'une piste tronconique, embellie par des obstacles métalliques astucieusement incrustés. En périphérie, le cylindre, un disque audacieux, est jalonné de 37 cases qui tournent sur l'axe de la carcasse, frôlant la base de la piste tronconique. Dans les casinos, un contrôle rigoureux est effectué pour assurer l'horizontalité parfaite de l'ensemble, garantissant ainsi la justesse du jeu.

Lors d'un tour de roulette, le cylindre prend vie, tournant dans un sens, tandis qu'une bille, généralement en ivoire, est lancée en sens inverse, dans la partie tronconique de la carcasse. Cette symétrie, l'équilibre savant du système, et les mouvements inverses de la bille et du cylindre, associés aux obstacles habilement agencés, font de la roulette une machine exceptionnelle pour générer du hasard. En effet, il est pratiquement impossible de prédire le parcours de la bille, et aucune case du cylindre ne bénéficie d'un traitement de faveur. Les cases du cylindre sont numérotées de 0 à 36, chacune possédant ses propres mystères.

Ces numéros comportent, à l'exception du zéro, trois caractéristiques distinctes :

1) Un numéro est qualifié de MANQUE s'il est inférieur à 19, tandis qu'il est classé PASSE dans le cas contraire.

2) Par ailleurs, un numéro peut être PAIR ou IMPAIR, en gardant à l'esprit que dans le monde de la roulette, le zéro n'est ni l'un ni l'autre.

3) Enfin, un numéro est traditionnellement étiqueté ROUGE ou NOIR, cette classification étant purement conventionnelle.

Pour retrouver la couleur d'un numéro, une règle simple peut être appliquée : si la somme des chiffres composant le numéro est impaire modulo 9 (c'est-à-dire le reste après division par 9), alors le numéro est ROUGE, à deux exceptions près : le 10 et le 28, qui sont NOIRS. Si cette somme est paire, alors tous les numéros sont NOIRS sans exception possible.

Analyse du jeu

En examinant de plus près la disposition des numéros sur la roulette, il devient évident qu'ils ont été agencés de manière à satisfaire plusieurs critères fondamentaux. Premièrement, deux numéros consécutifs ne se retrouvent jamais côte à côte. Deuxièmement, un numéro NOIR est toujours encadré par deux numéros ROUGES. Enfin, deux numéros MANQUE ne peuvent jamais être voisins (à l'exception du 5 et du 10), tout comme le sont les numéros PASSE, sans aucune exception. Enfin, un fait intéressant est que les numéros PAIR et IMPAIR alternent, mais ce phénomène n'apparaît que 21 fois sur les 35 numéros.

Mais ce n'est pas tout : si l'on envisage le zéro comme étant le point de départ, le cylindre peut être divisé en deux groupes de 18 numéros, à l'est et à l'ouest, dont la somme totale s'élève à 333. Ce résultat n'est pas dû au hasard, mais témoigne plutôt du souci manifeste d'équilibrage de la part des concepteurs de la roulette. Bien que cette disposition puisse sembler avoir une importance, elle n'en a pas, tant que le mécanisme de la roulette est bien conçu. Même une répartition égale entre ROUGE et NOIR ne changerait en rien le caractère aléatoire de la roulette idéale. Toutefois, si des imperfections mineures d'équilibrage ou de rugosité favorisaient une section du cylindre, cette configuration servirait à atténuer les effets indésirables.

Examinons maintenant la table de mise. Ce tableau, qui peut sembler complexe de prime abord, offre en réalité une vaste gamme d'options de jeu, expliquant ainsi la préférence marquée des joueurs pour la roulette par rapport à d'autres jeux comme la boule (roulette à neuf numéros).

	Types de mise	Nombre de numéros	Gains
Chances simples	Noir	18	1
	Rouge	18	1
	Impair	18	1
	Pair	18	1
	Passe	18	1
	Manque	18	1
Chances multiples	Le plein	1	35
	Le cheval	2	17
	La transversale	3	11
	Le carré	4	8
	Le sixain	6	5
	La douzaine ou la colonne	12	2
	24 numéros	24	1/2

> Découvrez le placement des mises sur le tapis de la roulette

Jetons un œil aux différents jeux possibles en effectuant une seule mise. On distingue d'abord les chances dites simples : ROUGE, NOIR, PAIR, IMPAIR, PASSE et MANQUE, où l'on mise sur 18 numéros et où le gain potentiel se révèle être deux fois la mise initiale. En outre, il existe les chances multiples, comme le numéro plein, où la mise est placée sur un unique numéro, le cheval, pour lequel la mise est répartie sur deux numéros, la transversale pleine qui porte sur le bord d’une bande de trois numéros horizontaux, le carré, qui est joué en plaçant sa mise à l'intersection de quatre numéros, ou encore la transversale simple (ou sixain), où la mise est positionnée sur le point commun de deux bandes de trois numéros horizontaux. Enfin, il est possible de miser sur 12 numéros, que ce soit en colonne, ou sur les tranches de 1 à 11, 18 à 24 et 25 à 36, en utilisant les cases situées en bas de la table de mise. On peut également jouer sur 24 numéros en plaçant sa mise à cheval sur les cases dédiées aux jeux à 12 numéros.

Bien que les possibilités de jeu soient étendues, il est crucial de noter que tous les jeux envisageables avec une seule mise ne sont pas réalisables. En effet, pour les chevaux, on pourrait théoriquement envisager 36 X 37 = 1332 chevaux différents, mais seulement 60 d'entre eux peuvent effectivement être joués avec une seule mise. Malgré tout, il reste 161 formes de jeu possibles dans ce cadre.

Chaque fois qu'une boule roule à la roulette, le croupier annonce avec assurance le numéro gagnant, ainsi que les chances simples qui se sont révélées fructueuses, comme par exemple : 1, NOIR, IMPAIR et MANQUE, et les gains sont ensuite attribués conformément au tableau précédent pour les chances multiples. En pratique, le croupier ne verse que le complément à la mise placée sur le tapis, c'est-à-dire que pour un numéro, il paye 35 mises tout en permettant au joueur de récupérer sa mise sur le tapis, un détail que certains joueurs novices négligent parfois. Notons que pour 24 numéros, le paiement étant de 1,5 fois la mise, il est impératif de jouer au moins deux mises minimales afin d'avoir la possibilité d'être payé (étant donné qu'il existe une mise minimale). En ce qui concerne les chances simples, la sortie du zéro a des répercussions particulières, un aspect que nous aborderons plus en détail ultérieurement.

L’espérance mathématique de gain

La première question que chaque joueur se doit de se poser avant de s'engager dans un jeu de hasard est : quelle est l'espérance (mathématique) de gain, c'est-à-dire quel est le produit du gain éventuel par la probabilité de sa réalisation ? Si l'espérance est égale à 1 pour une mise d'un euro, le jeu est équitable. Si cette valeur est supérieure à 1, cela signifie que le joueur bénéficie d'un avantage, tandis qu'une valeur inférieure à 1 indique clairement que c'est la maison de jeux qui en tire profit.

Prenons par exemple le jeu sur un numéro de roulette. En cas de victoire, le joueur perçoit 36 euros, mais il a une chance sur 37 de gagner, d'où l'espérance mathématique de 36/37. L'écart à 1, soit 1/37, représente ce que l'on pourrait appeler « l'impôt du jeu » ou la part réservée au casino, ce qui correspond à 2,7 % de la mise. Une autre manière d'évaluer cet impôt est d'imaginer un joueur qui, pour simplifier, miserait un euro sur tous les numéros. Cette approche garantit des gains d'une certaine nature, mais examinons son bilan après chaque coup : il aurait mis 37 euros en jeu, aurait reçu 36 euros, et donc il perd un euro, soit 1/37 de sa mise totale.

Se pose alors la question de savoir si cet impôt varie selon le type de chance multiple choisi. La réponse est non ! Pour illustrer que l'impôt reste constant, prenons l'exemple du carré : le joueur touche neuf fois sa mise, mais il a 4/37 chances de gagner, ce qui nous donne l'espérance mathématique suivante : 4/37 X 9 = 36/37, identique à celle du jeu sur un numéro.

Désormais, examinons le cas des chances simples. Voici un aspect particulier : si le zéro sort, les chances simples sont mises « en prison », c'est-à-dire que les mises sont conservées sur le tapis et reportées à la partie suivante (il est toutefois possible de modifier son jeu sur les chances simples pour le prochain tour). Lors de la prochaine boule, si la chance simple gagne, le joueur peut récupérer sa mise, mais sans gain supplémentaire ; en revanche, si la chance simple perd, c'est alors le casino qui s'impose et collecte la mise. Si le zéro sort lors de deux coups successifs, les mises restent emprisonnées pour deux tours, ne pouvant être récupérées qu'en cas de victoires consécutives. Sur la table de mise, seules trois emprisonnements sont donc prévus, car une suite de quatre zéros est fort improbable.

Mais quelle est alors l'espérance mathématique du jeu sur une chance simple ? Pour simplifier nos calculs, supposons que le zéro ne sorte pas deux fois d'affilée, un événement se produisant une fois sur 37 X 37, soit 1369, et l'erreur engendrée ainsi reste négligeable. Lors du premier tour, le joueur a 18 chances sur 37 de gagner deux mises. Si le zéro sort (1 chance sur 37), il existe une possibilité de 50 % (car nous avons supposé que le zéro ne sort pas deux fois de suite) de récupérer sa mise, d'où l'espérance mathématique : E = 18/37 X 2 + 1 X 1/37 X 1/2 = 73/74, c'est-à-dire que, dans ce scénario, l'impôt du jeu s'élève à 1/74, soit environ 1,35 %, donc deux fois moins que sur les chances multiples.

Il est primordial de ne pas conclure hâtivement qu'il est préférable de jouer sur les chances simples... mais plutôt d'aborder ce fait sous l'angle de l'intérêt du casino, qui encourage les joueurs à porter leurs mises sur les chances multiples.

Voyons comment nos chances de victoire évoluent au cours d'un certain nombre de parties. Si je parie sur un numéro, j'ai 36/37 chances de ne pas gagner. Si je mise ensuite sur deux coups, mes chances de ne pas gagner au premier tour demeurent de 36/37, tout comme pour le second coup. Ainsi, ma probabilité de ne rien gagner sur les deux coups est (36/37)², ce qui est, bien évidemment plus faible. Plus généralement, si je joue n parties, j'ai alors (36/37)ⁿ chances de ne pas gagner du tout, et donc 1 - (36/37)ⁿ de gagner au moins une fois. Ce raisonnement peut être appliqué à toutes les autres chances multiples (en adaptant les probabilités en conséquence) et il s'avère intéressant de représenter graphiquement ces résultats, comme nos illustrations ci-dessous.

Probabilité de gagner au moins une fois sur les différentes mises à la roulette en n coups :

Probabilité à la roulette

Ce graphique soulève plusieurs réflexions : pour obtenir une chance sur deux de gagner au moins une fois sur un numéro, il faut en moyenne jouer 25 parties. Si l'on souhaite une quasi-certitude d'emporter au moins une victoire (c'est-à-dire 99 chances sur 100), il faut jouer environ 170 coups, cela impliquant de risquer une somme de 170 euros pour garantir un gain de 36 euros ! Si le joueur préfère une approche moins risquée, en jouant sur un sixain, il obtiendra une « récompense » plus rapidement, dans le sens où il faudra quatre tours en moyenne pour bénéficier d'une chance sur deux de gagner au moins une fois, tandis que 26 coups suffiront pour assurer une quasi-certitude, bien que les gains (comme les pertes) demeureront proportionnellement plus faibles. Tous ces calculs fournissent la probabilité de gagner au moins une fois, mais englobent également les probabilités de remporter une, deux, ou d’autres victoires.

En revanche, comment adapter ces calculs pour déterminer la probabilité de gagner k fois exactement en n parties ? Désignons par p la probabilité de succès lors d'une partie, et par q, équivalant à 1 - p, la probabilité de perte. Commençons par la probabilité de décrocher une victoire unique en n parties. Pour cela, il faut gagner une fois (probabilité p) et perdre n - 1 fois (probabilité q^n-1), ainsi la probabilité est pq^n-1. Cependant, le gain peut se produire au premier coup, au deuxième, etc., c'est-à-dire de n façons distinctes, d'où la probabilité finale npq^n-1. De même, pour gagner deux fois exactement en n coups, la probabilité de 2 gains et de n - 2 pertes se formule ainsi : p²q^n-2, mais il existe C²_n = n(n-1)/2 façons de réaliser cela, soit finalement une probabilité formulée par C²_np²q^n-k. Plus généralement, la probabilité de gagner exactement k fois sur n coups se présente ainsi : P_k = C^k_np^kq^n-k.

La figure suivante illustre l'évolution de cette probabilité lorsqu'on joue sur un numéro (p = 1/37) pour k = 1, 2, 3 et 4.

Probabilité de gagner exactement 1, 2, 3, ou 4 fois sur un numéro plein à la roulette :

Probabilité à la roulette

Il est à noter que toutes ces courbes commencent par croître avant de passer par un maximum ; cela s'explique aisément : plus le nombre de parties augmente, plus la chance de gagner plusieurs fois s'accroît, tandis que celle de gagner un nombre réduit de fois diminue en corrélation. Avec les formules précédentes, nous sommes également capables d'étudier le parcours du joueur de fonds, celui qui mise toujours la même somme sans manquer aucune partie. Quelle est sa probabilité d'être gagnant après 2n parties s'il joue sur les chances simples ? Dans ce contexte, nous négligerons la particularité du zéro, en supposant que lorsqu'il sort, le joueur perd sur les chances simples, ce qui n'impacte pas le résultat que nous cherchons. Sa probabilité p de gagner à chaque tour s'établit à 18/37. Pour que le joueur soit perdant à l'issue de 2n coups, il est nécessaire et suffisant qu'il n'ait pas gagné plus de n-1 fois. La probabilité qu'il n'ait pas gagné plus de n-1 fois équivaut alors à la somme des probabilités d'avoir gagné zéro fois, une fois, deux fois, etc., jusqu'à n-1 fois, formulée comme suit :

P = ∑^n-1_k=0 C^k_2n p^k q^2n-k.

Dès que n prend une certaine ampleur, le calcul de cette somme devient un véritable casse-tête ; c'est pourquoi les mathématiciens du XVIIIe siècle (notamment Stirling) ont développé des formules approchées permettant d'évaluer cette somme. Ces formules dépassent le cadre de cet article, mais un résultat résumé se trouve dans le tableau ci-dessous.

Probabilité de perdre aux chances simples :

Nombre de coups joués	Probabilité de perdre aux chances simples
1	0,514
50	0,520
100	0,568
500	0,698
2 500	0,903
7 500	0,989
15 000	0,992
20 000	0,999

À la lecture de ce tableau, il est évident que sur 500 coups, la probabilité d'être perdant atteint presque trois chances sur quatre, et que plus le nombre de parties augmente, plus la probabilité de perdre se rapproche inéluctablement de 1. C'est là un aspect du phénomène de la ruine du joueur, sur lequel nous reviendrons plus tard. Nous aurions également pu appliquer ce raisonnement au jeu sur un numéro plein ; dans ce cas, il a été démontré que la probabilité de perdre commence par diminuer avant de passer par un minimum, puis de tendre vers 1, mais cela se fait de manière beaucoup plus lente, ce qui sera abordé sous un autre angle un peu plus loin.

Laissons de côté les perdants pour nous concentrer sur les chanceux. En analysant 2n parties de chance simple, les chanceux seront ceux qui ont gagné n + 1, n + 2, ... jusqu'à n + k... 2n fois. Appelons « chance normale » le nombre k tel que la moitié des joueurs chanceux ont gagné plus, et par conséquent, la moitié a gagné moins. Effectuons le calcul de ce nombre. Il existe Cⁿ⁺¹_2n façons de gagner n + 1 fois, Cⁿ⁺²_2n façons de gagner n + 2 fois... ainsi, le total s'évaluera comme suit : ∑^n+k_i=n+1 Cⁱ_2n façons d'être chanceux. Parallèlement, la façon dont un joueur chanceux peut gagner au plus n + k fois est : ∑^n+k_i=n+1 Cⁱ_2n.

La probabilité d'avoir gagné au plus n + k fois se trouve être le rapport de ces deux sommes, tandis que la valeur k que l'on cherche sera celle à laquelle cette probabilité équivaut à 0,5. Cependant, à nouveau, nous n'indiquerons que les résultats dans le tableau ci-dessous :

Nombre de coups joués	Chance normale
200	8
800	16
3200	32
6400	64

Ainsi, sur 200 parties de chances simples, un gain de huit mises correspond à une chance normale, tandis qu'à l'inverse, une perte de huit mises serait considérée comme une « guigne normale ». La partie la plus intrigante de ce tableau réside dans le fait que la chance normale augmente proportionnellement avec le nombre de parties jouées, mais seulement en raison de la racine carrée du nombre de parties, ce qui ne récompense guère une obstination, d'autant plus qu'il faut toujours faire partie des chanceux ! De plus, il est essentiel de noter que l'impôt du jeu, qui découle de la sortie du zéro, survient en moyenne tous les 37 coups, absorbant ainsi une mise en moyenne tous les 74 coups. Cela signifie qu'à partir de 3100 coups, l'impôt du jeu (soit 43 mises) dépasse déjà la « chance normale ».

Réduire les pertes

Alors que nous savons pertinemment que si l'on joue longtemps, il faut se préparer à perdre, peut-on retarder cette perte en modifiant sa façon de jouer ? Pour cela, examinons deux cas extrêmes : d'une part, un groupe de joueurs qui s'engagent sur une mise dans les chances simples et, d'autre part, un autre groupe qui opte pour une mise sur un numéro plein. La probabilité de gagner k fois en n parties est donnée par C^k_np^kq^n-k avec p = 18/37 pour les chances simples et p = 1/37 pour le numéro plein. La probabilité de gagner i fois au plus devient alors P = ∑ⁱ_k=0 C^k_n p^k q^n-k. En connaissant n, p, et q, nous avons la possibilité de déterminer les valeurs i₁ et i₂ telles que p soit égal à 0,25 ou 0,75.

Pour nos groupes de joueurs, les nombres i₁ et i_{2 correspondent au nombre de parties gagnées par au moins 75 % des joueurs et au plus par 25 % des joueurs. En d'autres termes, le bilan de 50 % des joueurs sera compris entre n - Ri1 et n - Ri2 mises, étant donné que R représente le gain du jeu choisi (2 pour les chances simples et 36 pour le numéro plein). Les résultats de cette analyse sont compilés dans le tableau ci-dessous :}

Après	Bilan de 50 pour cent des joueurs
	Chance simple	Numéro plein
100 coups	entre - 10 et + 4	entre - 28 et + 44
500 coups	entre - 28 et + 2	<